Oscillations mécaniques (Hélios n° 19 p249)
A.- Enregistrement
1a) Mouvement périodique ou
pseudopériodique ?
Les valeurs sont maximales à des
intervalles de temps égaux, mais ces valeurs maximales diminuent avec le temps.
Le phénomène est donc pseudopériodique.
1b) La pseudo période est la durée
séparant le passage à deux valeurs maximales consécutives (ou deux valeurs
minimales, ou deux valeurs nulles dans le même sens de variation).
2a) Selon l'enregistrement, 3 pseudo
périodes valent 4,1 secondes, donc T = 1,35 s
2b) À t = 0, l'élongation x(0) est minimale négative et vaut x(0) = - 3,5 cm, ce qui correspond
à une amplitude 0 = 3,5 cm
3) L'amplitude des oscillations
diminue à cause des frottements.
B.- Modélisation
1) Pour l'élongation x, la
longueur du ressort étiré est (L0 + x)
la longueur du ressort comprimé est (L0 – x)
2) Pour l'élongation x, la force exercée par le ressort étiré est 
la
force exercée par le ressort comprimé est 
Verticalement,
le poids et la réaction du plan se compensent : 
3) Par
application de la 2ème loi de Newton : 
=> 
Soit,
selon l'axe Ox : 
=> 
4a) La solution de l'équation
différentielle est de la forme 
L'expression de la période propre
du mouvement est obtenue en remplaçant x(t) par son
expression dans l'équation différentielle :
Cette expression doit être vérifiée
quel que soit t => 
Et
donc : 
4b) 
La période propre est légèrement inférieure à la pseudo période, ce qui est
attendu.
4c)
Si, à t = 0, la vitesse est nulle : 
Si, à
t = 0, x a une valeur minimale (x = -3,5) : 
L'amplitude
s'exprimant toujours positivement, il faut F0 = p et alors xm = 3,5 (en
cm)
L'expression
de l'élongation est donc : 