N°13p179

Lors de la manœuvre de décollage, un avion de chasse de masse m = 12,5 tonnes, partant du repos (v₀ = 0) à t₀ = 0, atteint la vitesse v_f = 360 km.h^-1 à t_f = 6,0 s.

1) L’accélération est supposée constante ici :

(deux chiffres significatifs seulement)
NB : l’accélération est proche de 2g

2) Caractéristique de la résultante (somme) des forces extérieures pendant le décollage

Selon la deuxième loi de Newton : . Donc :

· la direction et le sens de sont la direction et le sens de l’accélération, donc la direction horizontale et le sens du mouvement de l’avion en train de décoller puisque sa vitesse initiale était nulle.

· La valeur de est donnée par : F = ma = 12,5.10³. 17= 210 kN
(résultat de a laissé non arrondi dans la calculatrice, deux chiffres significatifs seulement)

3a) Inventaire des forces extérieures exercées sur l’avion roulant sur la piste

Avec l’aimable autorisation de JC

Remarques :

Les forces verticales s’annulent () et la résultante des ascendantes () a le même support que (l’avion ne bascule pas). Les forces de frottements ()sont opposées à la vitesse, augmentent avec elle et leur résultante a le même support que la force propulsive (l’avion ne bascule pas).

3b) L’avion peut décoller, (c'est-à-dire augmenter sa vitesse verticale vers le haut), à partir du moment où la somme des forces extérieures a une composante verticale vers le haut supérieure au poids. Quand une vitesse suffisante est atteinte, les volets fixés sur l’arrière des ailes sont inclinés de telle façon que la force de frottement sur cette partie ait une composante vers le haut

N°20p181

1a) Inventaire des forces exercées sur une cabine d’ascenseur de masse
M = 400 kg transportant 5 passagers de masse totale m = 300 kg :

• Poids de valeur P = mg = 700 x 9,8 = 6860 N
• Tension du câble tracteur de valeur F = 8500 N
• Poussée d’Archimède négligeable ici

2a) No comment

2b) Les caractéristiques du vecteur accélération se déduisent de la

2^ème loi de Newton :  :

· La direction de est la direction commune de et de

· Le sens et la valeur de est obtenu par projection de la relation
vectorielle sur un axe vertical Oz dirigé vers le haut (par exemple) : - P + F = ma
=>
(L’accélération positive, donc orientée vers le haut)

3a et b) Lors du démarrage pour la descente, la cabine acquiert une certaine vitesse à partir de l’immobilité (v = 0). Elle est donc soumise à une accélération vers le bas, et donc à une résultante des forces extérieures également vers le bas :

et sont vers le bas, donc –P + F < 0, et donc P > F

N°7p197

Soit une fléchette de masse m = 50 g lancée verticalement à t = 0 haut avec une vitesse
v₀ = 5m.s^-1, depuis une hauteur h₀ = 1,5 m du sol.

Pour déterminer l’instant de l’apogée ainsi que la hauteur atteinte, il faut écrire les relations donnant la vitesse et les distances parcourues en fonction du temps. Il faut donc choisir un repère dans le référentiel terrestre supposé galiléen pour ce mouvement (celui que j’ai choisi est véritablement n’importe quoi :-):

Pour rappel : établissement des équations :

Sur la fléchette, une fois lancée : => (+, vu les sens de g et Oz)

=>

=> v = gt – v₀ (–, vu les sens de v₀ et Oz)

=>

=> z = ½ gt² –v₀t + 0 (puisque à t = 0, la flèche est en O)

Réponse aux questions :

1) l’apogée est atteinte à l’instant t_a où la vitesse s’annule

=> 0 = 10t_a – 5 => t_a = 0,5 s

2) La cote maximale atteinte est z_a telle que : z_a = ½ 10 x 0,5² – 5 x 0,5

=> z_a = 1,25 m

Par rapport au sol, l’altitude atteinte est donc : h = z_s – z_a = 1,75 – (– 1,25) = 3 m

Chute d’une goutte d’eau (libre ou pas)

1.1) Équations horaires de la chute libre de la goutte

Le repère est imposé.

Selon la méthode déjà utilisée dans l’exercice précédent : v = gt ; x = ½ gt²

1.2) Sur le graphe :

- En triangle, la chute sans frottements
- - - En carré, la chute avec frottements

2.1) Rapport entre Poids d’une goutte et Poussée d’Archimède exercée par l’air :

P = r_eVg =

F_A = r_aVg = => P ~ 1000 F_A

2.2) À 10 m.s^-1, la force de frottement est : f = kv = 1,7.10^-7 x 10 = 1,7.10^-6 N, soit du même ordre de grandeur que le poids, tout en étant inférieure. Il y a encore accélération à cette vitesse.

2.3) Inventaire des forces sur la goutte à 10 m.s^-1 :

2.4) La deuxième loi de Newton permet d’écrire :

Par projection sur un axe vertical orienté vers le bas :

2.5a) Les courbes du document 2 représentant les expressions x = f(t) avec ou sans frottements divergent nettement au bout d’une durée t_d = 2 secondes de chute, soit une distance x_d parcourue :

x = ½ gt_d² = 0,5 x 9,8 x 2² ~ 20 m

2.5b) La courbe du document 3 indique qu’au bout d’une dizaine de secondes de chute, la vitesse est constante. L’accélération est alors nulle. Le mouvement est rectiligne uniforme

2.6) v_L = 30 m.s^-1

2.7) Lorsque v_L est atteinte, . Donc, ces valeurs particulières appliquées à l’équation différentielle donnent :

2.8) Si le rayon de la goutte est deux fois plus grand :

- si le coefficient de frottement est proportionnel à R, le nouveau coefficient k’ vaut : k’ = 2k

- puisque le poids de la goutte est proportionnel à son volume et donc proportionnel au cube du rayon (si le rayon double, le volume est multiplié par 8) , le nouveau poids P’ devient :
P’ = 2³ P.

La nouvelle vitesse limite v’_L est donc :

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