N°15 p 159 (Hélios)

Un condensateur de capacité C = 10mF est chargé sous une tension U₀ = 6,0 V, et puis branché à t₀ = 0 aux bornes d’une bobine d’inductance L = 2,0 mH.

Les variations de u dans le temps vérifient l’équation différentielle

1a) Montrer que est une solution de l’équation différentielle et retrouver l’expression de la période propre du circuit en fonction de ses paramètres..

L’expression de u = f(t) doit vérifier l’équation différentielle :

==>

La solution proposée doit vérifier l’équation différentielle quel que soit t :

==>

La solution proposée vérifie donc l’équation différentielle si

1b) La période propre des oscillations électriques dans le circuit est donc :

0,89 ms

1c) Selon la solution proposée, la tension aux bornes du condensateur varie entre +u_m et -u_m

u_m est la valeur maximale de la tension aux bornes du condensateur, la valeur qu’elle lorsqu’il est chargé.

==> u_m = 6 V

Cette valeur est prise, en particulier, à t = 0 :

==>

==>

==> f₀ = 0

2) f₀ est la phase à t = 0. Elle peut être déterminée en sachant qu’à t = 0, i = 0 :

3) Numériquement :

et

N° 18 p160 (Hélios)

Soit le montage suivant où R = 400 W, L = 0,43 H, C = 1,09 mF :

Les tensions u_AM et u_BM ont été enregistrées par informatique lorsque l’interrupteur a été basculé de 1 en 2. Les courbes obtenues sont les suivantes :

1) La courbe 1 représente une tension qui a une valeur maximale à l’instant du basculement. C’est la tension u_AM selon le schéma. C’est donc la tension aux bornes du condensateur.

La courbe 2 représente une tension nulle au moment du basculement, alors que l’intensité est nulle. C’est la tension u_BM selon le schéma. C’est donc la tension aux bornes du conducteur ohmique de résistance R, tension qui représente également l’intensité dans le circuit, puisque, conformément aux sens choisis pour u_BM et i, u_BM = Ri.

2) L’énergie du circuit à l’instant du basculement est stockée dans le condensateur seul puisque i = 0. Alors :

3a) Au moment où les deux courbes se coupent : u_AM = u_BM = 1,8 V

==> Énergie dans le condensateur :

==> Énergie dans la bobine : , avec

3b) L’énergie perdue à l’instant t = 1,5 ms est perdue par effet Joule. Elle vaut :

4) Sur l’enregistrement, la pseudo-période des oscillations électriques vaut environ T = 5 ms

Le calcul de la période propre donne

On constate donc que T est supérieur à T₀

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