EXERCICE I :

Analogies entre les évolutions temporelles d’un système radioactif et d’un système électrique (8 points)

L’exercice est composé de 3 parties. La partie A concerne l’étude radioactive du phosphore, la partie B l’étude d’un circuit RC pendant la charge d’un condensateur. L’objectif de la dernière partie est de faire un parallèle entre le phénomène de radioactivité et la charge d’un condensateur afin de mettre en évidence certaines analogies. Les parties A et B sont totalement indépendantes.

A. Etude radioactive du phosphore (4 point)

Données :

Ú Valeur de la célérité de la lumière : c = 3,00.10⁸ m.s^-1

Ú Masse du noyau de phosphore 32 : m(P) = 5,35631.10^-26 kg.

Ú Masse du soufre : m(S) = 5,35608.l0^-26 kg.

Ú Masse d’un électron : m(e^-) = 9,0.10^{-31 kg}

Le phosphore est radioactif. Il se désintègre en émettant un électron. Sa demi-vie est t_1/2=14,3 jours.

1. La désintégration forme du soufre. Etablir l’équation de désintégration.

A l’instant t = 0, un échantillon de phosphore possède N₀ = 1,00.10²² noyaux. La loi de décroissance radioactive donnant le nombre de noyaux de phosphore restant au cours du temps est du type N=N₀.e^-l.t où l est une constante strictement positive.

2. Vérifier que le nombre de noyaux N est solution de l’équation différentielle :

N=N₀.e^-l.t =>

3. Définir la demi-vie t_1/2 puis établir la relation t_1/2= . Calculer l (en jours^-1)

La demie-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux présent est désintégrée.
Donc, si à t = 0, N = N₀, alors à t = t_1/2, N = N₀ /2
=> => -lt_1/2 = ln (1/2) = - ln 2 => t_1/2 =
=> l = ln 2 / 14,3 = 4,85.10^-2 jour^-1 (3 chiffres significatifs)

4. Donner l’expression de ln N en fonction du temps t.

N=N₀.e^-l.t => ln N = - l.t + ln N₀

Afin de tracer le graphe ln N en fonction du temps, on mesure les valeurs N à différents instants puis on calcule ln N. Les calculs ont donné le tableau suivant :

t(en jours)	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
Ln N	50,66	50,41	50,16	49,91	49,69	49,43	49,25	48,94	48,73	48,48

On obtient ainsi le graphe ci-dessous :

5. Justifier l’allure du graphe obtenu. L’exploiter afin de vérifier la valeur de l calculée à la question 3.

La courbe est une droite qui coupe l’axe des ordonnées à ln N = 50,65 (et non pas obligatoirement 50,66) et dont la pente est . (nécessité de prendre deux points sur la droite).
L’équation de la droite est donc : ln N = - 0,049.t + 50,65, conforme à l’expression trouvée précédemment en 4°)
La comparaison des deux expressions donne l = 4,9.10^-2 jour^-1, résultat voisin de l = 4,85.10^-2 jour^-1

6. Calculer la masse m_o de l’échantillon radioactif à l’instant t = 0.

La masse de N₀ = 1,00.10²² atomes de phosphore 15 vaut :
m₀ = 1,00.10²² x (5,35631.10^-26 + 15 x 9,0.10^-31) = 5,4.10^{-4 kg = 0,54 g (la masse des électrons est effectivement négligeable, compte-tenu de la précision sur le nombre de noyaux)}

7. Quel est le nombre N₁ de noyaux radioactifs P restant après 45 jours ? En déduire le nombre N₂ de noyaux S qu’il s’est formé au bout de 45 jours ?

N₄₅ = 1,00.10²² x e^{-0,0485 x 45} = 1,13.10²¹
Il s’est donc formé N_S = (10,0 – 1,13).10²¹ = 8,87.10²¹ noyaux de soufre (avec un seul « f »)

8. Exprimer puis calculer la perte de masse au cours de la désintégration d’un noyau. En déduire la perte de masse m₄₅ durant les 45 premiers jours.

Dm = m_P – ( m_S + m_e) = 5,35631.10^-26 – (5,35608. + 0,00009).10^-26 = 1,4.10^{-30 kg
=> Perte de masse au bout de 45 jours :} Dm₄₅ = 1,4.10^-30 x 8,87.10²¹ = 1,2.10^{-8 kg = 12} mg

9. Exprimer puis calculer l’énergie libérée en 45 jours.

E = Dm₄₅.c² = 1,2.10^-8 x (3,00.10⁸)² = 1,1.10⁹ J = 1,1 GJ = 306 kWh

B. Etude d’un circuit RC. (2,5 point)

Un générateur de tension constante E = 5V alimente un conducteur ohmique de résistance R=10³W et un condensateur de capacité C associés en série. Un dispositif d’acquisition de donnée relié à un ordinateur permet de suivre l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps.

u_R

A la date t = 0s, le condensateur est initialement déchargé, on ferme l’interrupteur K et l’ordinateur enregistre la tension dont l’évolution est donnée sur le graphe ci-dessous.

u_C

1. Flécher les tensions u_c et u_R sur le schéma du montage (à recopier sur la copie).

Les tensions sont fléchées sur le schéma, en tenant compte de la convention récepteur et du sens choisi pour le courant.

2. Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension u_C aux bornes du condensateur au cours de sa charge.

Selon la loi d’additivité des tensions :u_R + u_C = E
Mais :
- selon la loi d’ohm pour un conducteur ohmique, la tension aux bornes du conducteur est proportionnelle à l’intensité qui le traverse : u_R = Ri
- par définition l’intensité du courant en un point d’un circuit s’exprime en fonction de la quantité d’électricité qui y passe pendant un certain temps :
- selon le sens choisi pour le courant, la charge q ci-dessus est celle qui est portée par l’armature A et s’exprime, par définition en fonction de u_AM = u_C : q = C.u_C
Donc : u_R + u_C = E => =>

3. La solution de cette équation différentielle est du type . Déterminer, à partir du document ci-dessus, la constante de temps t caractéristique du circuit. Expliquer la méthode utilisée sur votre copie.

Par définition, t = RC. Dans la solution de l’équation différentielle, à l’instant t = t :
u_C = E(1 – e^-1) => u_C = 5 x (1 – e^-1) = 3,15 V
Sur le graphe, cette tension de 3,15 V est obtenue approximativement pour t = 1,0 ms => t = 1,0.10^-3 s

4. En déduire la valeur de la capacité C du condensateur.

t = RC => C = 1,0.10^-3 / 10³ = 1,0.10^-6 farad = 1,0 mF

5. A partir de l’expression de u_c(t), montrer que le courant i(t) durant la charge du condensateur peut se mettre sous la forme i(t)= . On donnera les expressions de A et k en fonction des paramètres du circuit.

=> A = E / R et k = 1 / RC

6. Que vaut le courant à l’instant t = 0 ? Que vaut-il en régime permanent ?

Selon l’expression de i(t) : à t = 0, i = E/R = 5 / 10³ = 5 mA
En régime permanent, au bout d’une durée supérieure à 5t environ, ~ 0 et l’intensité est nulle.

C. Analogies entre les deux phénomènes (1,5 point)

1. Dessiner à main levée les graphes donnant les variations de l’intensité du courant i(t) en fonction du temps durant la charge du condensateur et le graphe donnant les variations du nombre de noyaux radioactif N en fonction du temps. Comparer les graphes obtenus.

Les deux graphes sont analogues, puisque tous les deux de la forme : y = a.e^-kx

2. En déduire l’équivalent de la constante radioactive l pour le circuit RC.

La comparaison de et de donne :

3. A l’aide de cette étude comparative, trouver l’équation différentielle vérifiée par l’intensité du courant i(t) durant la charge. Retrouvez cette même équation différentielle par l’étude du circuit RC durant la charge.

Par analogie : => ou bien :
Il a été établi que u_R + u_C = E, soit Ri + u_C = E
Une dérivation de l’expression par rapport à t donne :
Puisque q = C.u_C :
Or :
Donc : ou bien :

EXERCICE II : Mesure de la célérité des ultrasons dans un gaz (4 points)

Un émetteur ultrasonore est alimenté par un GBF délivrant une tension sinusoïdale. Le signal émis est capté par un microphone relié à un oscilloscope dont la fréquence de balayage est de 10 µs/div. La célérité des ondes ultrasonores dans l’air est de 340 m.s^-1

1. Qualifier l’onde mécanique produite par ce dispositif.

Il s’agit d’une onde :
- mécanique (déformation d’un milieu élastique)
- progressive (se propage dans le milieu)
- tridimensionnelle (se propage dans les trois directions)
- sinusoïdale (chaque point du milieu reproduit la déformation sinusoïdale de la source)

2. Le signal observé à l’oscilloscope met-il en évidence la période spatiale ou temporelle de l’onde ? Justifier

Le micro est placé en un point et est sensible aux variations de pression de l’air en ce point. Le balayage horizontal de l’oscilloscope permet de visualiser les variations de tensions enregistrées par le micro dans le temps. C’est donc la période temporelle qui est mise en évidence.

3. Déterminer la fréquence de l’onde.

Quatre oscillations occupent 10 divisions sur l’écran et se déroulent donc sur une durée de 10x10 ms
La période est la durée d’une oscillation et vaut donc T = 100 / 4 = 25 ms
La fréquence est le nombre d’oscillations par seconde : f = 1 / T = 4.10⁴ Hz = 40 kHz

4. Définir puis déterminer la longueur d’onde de cette onde ultrasonore

La longueur d’onde est la distance séparant deux points les plus proches vibrant en phase (de la même façon). On peut montrer que c’est aussi la distance parcourue par l’onde pendant une période. Si v est la célérité de l’onde : l = v.T = 340 x 25.10^-6 = 8,5.10^{-3 m = 8,5 mm}

Le dispositif est placé dans de l’hélium gazeux. On relie désormais l’émetteur à l’oscilloscope et on fait apparaître les deux signaux à l’écran. Aucun réglage n’a été modifié.

5. Les deux signaux sont en phase. Que voit-on sur l’écran de l’oscilloscope (faire un schéma à main levée)

Récepteur

Emetteur

L’amplitude de la vibration diminue en s’éloignant de la source, ce qui paraît à l’oscilloscope si les entrées sont réglées sur la même sensibilité.

6. Que peut-on dire dans ce cas de la distance séparant l’émetteur et le récepteur ? En donner une expression littérale.

Par définition de la longueur d’onde, la distance séparant la source et le micro est un multiple entier de la longueur d’onde : d = k.l

7. Sachant que la vitesse des ultrasons dans l’hélium est de 965 m.s^-1 déterminer les 3 plus petites distances d₁, d₂ et d₃ séparant l’émetteur et le récepteur lorsque les signaux sont en phase.

d₁ = l = v. T = 965.25.10^-6 = 2,4.10^{-2 m = 24 mm d}₂ = 48 mm et d₃ = 72 mm

8. On souhaite désormais mesurer la célérité des ultrasons dans du dioxyde de carbone, proposer une méthode utilisant le dispositif précédent pour y parvenir.

Dans l’enceinte contenant le CO₂ et le dispositif, on place le micro près de la source sonore, puis on l’éloigne de façon à compter le maximum de longueurs d’onde, de façon à calculer cette longueur d’onde, puis la célérité par la relation l = v.T (la période ne dépend pas du milieu, seulement de la source)

EXERCICE III : Détermination d’une constante d’acidité par conductimétrie (3,5 points)

On souhaite déterminer la constante d’acidité du couple CH₂ClCOOH / CH₂ClCOO^- à l’aide d’une mesure conductimétrique.

On appelle constante de cellule k le rapport de la conductance G et de la conductivité de la solution σ. On peut donc écrire : G = σ.k. Dans les conditions de l’expérience, la constante de cellule vaut k = 2,5.10^-3m.

Dans un bécher, on verse un volume V₀=100mL d’une solution S₀ d’acide monochloroéthanoïque CH₂ClCOOH de concentration molaire apportée c₀=5,00.10^-2 mol.L^-1. On immerge la cellule d’un conductimètre. Celui-ci mesure, à 25°C, une conductance de valeur G = 7,15.10^-4 S. On note λ la conductivité molaire ionique de l’ion oxonium H₃O⁺ et λ’ la conductivité molaire ionique de l’ion monochloroéthanoate CH₂ClCOO^-.

Dans cette solution, la faible concentration des ions HO^- rend négligeable leur participation à la conduction devant celle des autres ions. On négligera également l’autoprotolyse de l’eau.

On rappelle l’expression de la conductivité σ en fonction des concentrations molaires effectives des espèces ioniques X_i en solution : σ = Σ λ_i [ X_i].

Données : Conductivités molaires ioniques à 25°C : λ = 35,0.10^-3 S.m².mol^-1 ; λ’= 4,10.10^-3 S.m².mol^-1.

1. Ecrire l’équation de la réaction modélisant la transformation entre l’acide monochloroéthanoïque et l’eau. Dresser un tableau d’avancement.

	CH2ClCOOH + H2O = CH2ClCOO^- + H3O^+
Initial	5.10^-3	0	0
En cours	5.10^-3 - x	x	x
Maximal	0	5.10^-3	5.10^-3
Final

2. Exprimer la concentration molaire des ions produits par cette réaction en fonction de k, G, l et l’. Calculer cette concentration en mol.L^-1.

σ = l.[H₃O⁺] + λ’.[CH₂ClCOO^-]
Si l’autoprotolyse de l’eau est négligeable, il y a autant d’ions oxonium que d’ions monochloroéthanoate dans la solution, et : σ = (l + λ’).[H₃O⁺], ou bien σ = (l + λ’).[ CH₂ClCOO^-]
Et, puisque G = k.s :
Numériquement :
= 7,16 mol.m^-3 = 7,16.10^-3 mol.L^-1

3. En déduire son taux d’avancement final t. La réaction est-elle totale ?

Par définition :
t < 100% => la réaction n’est pas totale

4. Exprimer le quotient de réaction à l’équilibre Q_r,eq¸en fonction de [H₃O⁺] et c_o. Calculer sa valeur.

Par dédinition :
Mais, en permanence, et particulièrement à l’équilibre : [H₃O⁺] = [CH₂ClCOO^-]
et .[CH₂ClCOOH] = c₀ - [CH₂ClCOO^-] = c₀ - [H₃O⁺]
Donc :

5. En déduire la constante d’acidité et le pKa du couple étudié.

Le quotient de réaction à l’équilibre est la constante d’équilibre de la réaction.
Cette réaction étant celle de l’acide monochlorométhanoïque sur l’eau, c’est aussi la constante d’acidité du couple CH₂ClCOOH / CH₂ClCOO^-.
Donc K_a = 1,03.10^-3 et, par définition : pK_a = - log K_a = -log 1,03.10^-3 = 3

6. Quel est le pH de cette solution ?

Par définition : pH = - log [H₃O⁺] = - log 7,16.10^-3 = 2,1

7. On ajoute quelques gouttes d’une solution d’acide chlorhydrique concentrée qui apporte autant d’ions H₃O⁺ qu’il y en avait dans la solution précédente à l’équilibre (sans pratiquement changer le volume de la solution.

a) Calculer le nouveau Q_r,i juste au moment du mélange

Par définition :

b) Comment le système va-t-il évoluer ?

Q_r,i est supérieur à K, le système va donc évoluer dans le sens inverse, celui qui va consommer les ions oxonium et les ions monochloroéthanoate, jusqu’au nouvel équilibre

EXERCICE IV : Cinétique de la réaction des ions iodure avec l’eau oxygénée (4,5 points)

1. Equation de la réaction

L’ion iodure (incolore) est le réducteur du couple I_2(aq)/I^-_(aq) où I₂ est de couleur brune.

L’eau oxygénée H₂O₂ (incolore) est l’oxydant du couple H₂O_2(aq)/H₂O_(l).

Ecrire les demi-équations d’oxydo-réduction des deux couples puis l’équation de la réaction entre les ions iodure et l’eau oxygénée en milieu acide (on supposera dans tout le problème la réaction totale).

I₂ + 2e^- = 2 I^-
H₂O₂ + 2H₃O⁺ +2e^- = 4H₂O
2I^- + H₂O₂ + 2H₃O⁺ = I₂ + 4H₂O

2. Etalonnage du spectrophotomètre

Pour suivre la cinétique de la réaction, on commence par étalonner le spectrophotomètre avec des solutions de diiode de concentrations C connues. Les mesures d’absorbance A en fonction de la concentration ont donné une courbe qui peut-être modélisée par une fonction du type A = k.C avec k = 1900 L.mol^-1.

Que dire des grandeurs A et C ? Quelle loi retrouve-t-on ?

L’absorbance d’une solution est proportionnelle à la concentration de l’espèce chimique absorbante. Le coefficient de proportionnalité dépend de la longueur d’onde considérée et de l’épaisseur de solution traversée. Il s’agit de la loi de Beer-Lambert.

3. Mode opératoire

Pour étudier la réaction, on opère de la façon suivante :

- On prépare dans un bécher un volume V₁=5,0mL d’une solution d’iodure de potassium de concentration C₁=1,0.10^-2mol.L^-1 ;

- dans un autre bécher on place un volume V₂=5,0mL d’une solution d’eau oxygénée acidifiée de concentration C₂=2,0.10^-3mol.L^-1.

- à t = 0s on mélange les contenus des deux béchers et on agite. Très rapidement on place une partie du mélange dans une cuve que l’on introduit dans un spectrophotomètre. On obtient les résultats situés en annexe (document 1).

a) Expliquer pourquoi l’absorbance A augmente au cours du temps.

L’espèce absorbante est le diode. La réaction entre H₂O₂ et I^- est une réaction lente et la concentration du diiode augmente avec le temps, comme l’absorbance qui lui est proportionnelle.

.

b) Dresser le tableau d’avancement du système chimique. Quel est le réactif limitant de la réaction ?

	2I^- + H2O2 + 2H3O^+ = I2 + 4H2O
Initial	C1V1 = 5,0.10^-5	C2V2 = 1,0.10^-5	0
En cours	5,0.10^-5 - 2x	1,0.10^-5 - x	x
Maximal
Final

La réaction étant totale, l’avancement final est l’avancement maximal. Il sera atteint lorsque le réactif en défaut sera consommé :
- ions iodure : 5,0.10^-5 - 2x_max = 0 => x_max = 2,5.10^-5 mol
- peroxyde d’hydrogène : 1,0.10^-5 – x_max = 0 => x_max = 1,0.10^-5 mol
Le réactif limitant est H₂O₂

Etude cinétique

a) Dans la cuve placée dans le spectrophotomètre, la réaction avance de la même façon que dans le milieu réactionnel. Montrer que l’avancement x de la réaction peut s’exprimer par la relation où V=V₁+V₂ (en litres) et x en mol.

A = k [I₂] = 1900.n(I₂)/(V₁ + V₂) = 1900. x/V => =>

b) Compléter le tableau du document 1 en déterminant les valeurs de l’avancement x pour les instants t.

A	0	0,50	0,90	1,25	1,45	1,60	1,70	1,77	1,83	1,84	1,85
t (min)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x (mmol)	0	2,63	4,734	6,575	7,627	8,416	8,942	9,3102	9,6258	9,6784	9,731

c) Tracer la courbe x (t) sur le document 2 (en annexe).

d) Définir le temps de demi-réaction puis déterminer sa valeur graphiquement.

Le temps de demi-réaction est la durée au bout de laquelle la moitié de l’avancement final a été atteint.
Par lecture graphique approximative : t_1/2 = 2,2 min = 2 min 10 s

e) Exprimer littéralement la vitesse volumique de réaction. Evaluer cette vitesse volumique de réaction (en mol.L^-1.min^-1) aux instants t = 2,0 min et t = 6,0 min.

Par définition, la vitesse volumique de réaction est donnée à chaque instant par
V est le volume du mélange réactionnel
est la valeur de la dérivée de l’avancement par rapport au temps à cet instant, ce qui correspond à la pente de la tangente à la courbe à cet instant. Graphiquement :
et

f) Interpréter l’évolution de la vitesse.

Au fur et à mesure du déroulement de la réaction, les quantités de matière des réactifs diminuent, diminuant le nombre de chocs efficaces. (Dit autrement : les concentrations des réactifs diminuent, ce qui diminue la vitesse de réaction, la concentration des réactifs étant un facteur cinétique)

g) Tracer sur le même graphique qu’au 4c l’allure de la courbe x (t) si la même expérience était effectuée à une température supérieure.

À une température supérieure, l’avancement final (maximal ici puisque la réaction est totale) est atteinte plus rapidement, la température étant un autre facteur cinétique (le nombre de chocs et de chocs efficaces augmente)

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