Exercice de physique n°2

Depuis la base de Kourou, en Guyane, proche de l’équateur, à 6° de latitude, un tir de la fusée Ariane a placé en orbite un satellite de communication du type « Télécom ».

Ce satellite doit être du type géostationnaire : après le processus complet de mise sur orbite (lancement, mise à poste et maintien à poste), le satellite est en orbite circulaire, dans le plan équatorial, à une altitude de 36 000 km environ, et sa période est d’environ 86 000 secondes, soit 24 heures.

1) Questions préliminaires

a)      Donner les expressions des forces d’interactions entre deux points matériels de masses
respectives m et m’ situés à une distance d l’un de l’autre. Faire un schéma.                                  0,75 pt

 

 

b)      Dans quelle mesure ces expressions sont-elles applicables dans le cas de la Terre
et du satellite ?                                                                                                                             0,25 pt

Si on suppose une symétrie sphérique dans la répartition de la masse de la Terre, on peut considérer toute la masse de la Terre concentrée en son centre.
Si on suppose les dimensions du satellite petites (quelques mètres) par rapport à sa distance à la Terre (200 km), on peut considérer que l’objet est ponctuel.
La relation est alors applicable, la distance d étant la distance entre le centre de la Terre et le satellite.

c)      Donner la définition d’un mouvement uniforme.                                                                             0,25 pt

Dans un mouvement uniforme, la valeur de la vitesse est constante, la direction et le sens de cette vitesse pouvant varier.

d)      Le mouvement du centre d’inertie d’une voiture se déplaçant sur une route
« en montagnes russes » peut-il être uniforme ? Justifier.                                                    0,25 pt

Dans ce cas, le vecteur vitesse n’est pas constant, mais la valeur de la vitesse peut l’être, en s’aidant du moteur dans les montées, et du frein dans les descentes.

e)      Un point matériel animé d’un mouvement uniforme peut-il avoir un vecteur accélération ?
Justifier.                                                                                                                                       0,25 pt

Le vecteur accélération est défini comme la variation du vecteur vitesse par unité de temps. Dans un mouvement uniforme, v = cste, mais le vecteur vitesse peut varier ; l’accélération est alors non nulle.

2) Étude du satellite « Télécom »

a)      Montrer que le mouvement du satellite « Télécom », satellite géostationnaire en orbite
circulaire, est uniforme.                                                                                                                0,75 pt

Le satellite doit suivre la rotation d’un point à la surface de la Terre et doit donc avoir la même vitesse angulaire (constante) que la Terre :    w = cste           (w en rad.s-1)

Si r = RT + h est le rayon de la trajectoire circulaire du satellite :          v / r = w = cste

Or la trajectoire est circulaire   =>       r = cste 
                                                           =>       v = cste            (le mouvement du satellite est circulaire uniforme)

b)      La valeur de la vitesse est donnée par l’expression  où G est la constante de gravitation universelle, MT est la masse de la Terre, RT est le rayon de la Terre et h est l’altitude du satellite.
En appliquant la deuxième loi de Newton, établir cette expression ; en déduire l’expression de la période de révolution du satellite.                                                                                               1,25 pt

Le satellite est soumis à la seule force de gravitation :  

Selon la deuxième loi de Newton, dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen pour le mouvement du satellite, l’accélération produite par cette force est telle que :


L’accélération est donc également orientée vers le centre de la Terre, et sa valeur est :


Or, d’une façon générale, pour que le mouvement soit circulaire uniforme, il faut que l’accélération soit centripète et ait la valeur :
          
=>                    =>       (1)

On en déduit la période de révolution du satellite :            (2)

c)      Parmi les valeurs ci-dessous, quelle est l’ordre de grandeur de la vitesse du satellite :
3.102 m.s-1             3.103 m.s-1       3.104 m.s-1                                                                              0,25 pt

d)      Quelle est la relation entre la période de révolution du satellite et la période de rotation de la Terre ? Cette relation est-elle suffisante pour affirmer que le satellite est géostationnaire ?                  0,50 pt

Si la vitesse de rotation du satellite doit être égale à celle de la Terre, les durées pour faire un tour (période de révolution) doivent être égales.

Cette condition n’est pas suffisante : par exemple, la rotation d’un satellite dans les conditions du schéma n’en fait un satellite géostationnaire :

 

 

e)      Dans quel plan se trouve l’orbite d’un satellite géostationnaire. Pourquoi ?                         0,25 pt

Il faut que le satellite soit vu constamment dans la même position, à partir d’un point de la surface de la Terre. Il faut donc qu’il tourne autour du même axe que la Terre, donc dans un plan perpendiculaire à cet axe. Mais la force qui donne l’accélération centripète nécessaire à ce mouvement est la force de gravitation, orientée vers le centre de la Terre. Le seul plan de rotation qui satisfait ces deux conditions est le plan équatorial.

 

f)        Tous les satellites géostationnaires doivent-ils avoir la même masse ?
Justifier la réponse.                                                                                                          0,25 pt

Non, puisque la période de révolution ne dépend pas de la masse du satellite (relation (2)

g)      Tous les satellites géostationnaires doivent-ils avoir la même vitesse ?
Justifier la réponse.                                                                                                          0,25 pt

Oui, puisqu’ils doivent avoir la même vitesse de rotation (vitesse angulaire w), et donc graviter sur la même orbite de rayon r tel que :
                =>      

Et leur vitesse v = rw doit donc être identique

3) Autre satellite

Les satellites de type « Spot » évoluent sur des orbites circulaires d’altitude 830 km environ.

a)           Leur vitesse est-elle plus grande, plus petite ou égale à celle de « Télécom » ? Justifier.   0,25 pt

La relation (2) permet d’évaluer l’altitude des satellites géostationnaires à 36 000 km environ

Selon la relation (1), lorsque l’altitude décroît, la vitesse croît. L’altitude de Spot étant inférieure à celle des géostationnaires, sa vitesse est supérieure.

b)           Leur période est-elle plus grande, plus petite ou égale à celle de « Télécom » ? Justifier.  0,25 pt

Selon la relation (2), lorsque l’altitude décroît, la période décroît. La période de Spot est inférieure à celle des géostationnaires.

c)           Ces satellites sont-ils géostationnaires ? Justifier.                                                            0,25 pt

Leur période de révolution n’est pas égale à celle de la Terre. Ils ne sont pas géostationnaires.

 

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