Exercice
de physique n°2
Depuis la base de Kourou, en Guyane, proche de
l’équateur, à 6° de latitude, un tir de la fusée Ariane a placé en orbite un
satellite de communication du type « Télécom ».
Ce satellite doit être du type géostationnaire :
après le processus complet de mise sur orbite (lancement, mise à poste et
maintien à poste), le satellite est en orbite circulaire, dans le plan
équatorial, à une altitude de 36 000 km environ, et sa période est
d’environ 86 000 secondes, soit 24 heures.
1) Questions préliminaires
a)
Donner
les expressions des forces d’interactions entre deux points matériels de masses
respectives m et m’ situés à une distance d l’un de l’autre. Faire un schéma. 0,75 pt
b)
Dans
quelle mesure ces expressions sont-elles applicables dans le cas de la Terre
et du satellite ? 0,25
pt
Si on suppose une symétrie
sphérique dans la répartition de la masse de la Terre, on peut considérer toute
la masse de la Terre concentrée en son centre.
Si on suppose les dimensions du satellite petites (quelques mètres) par rapport
à sa distance à la Terre (200 km), on peut considérer que l’objet est ponctuel.
La relation est alors applicable, la distance d étant la distance entre le
centre de la Terre et le satellite.
c)
Donner
la définition d’un mouvement uniforme. 0,25
pt
Dans un mouvement uniforme, la
valeur de la vitesse est constante, la direction et le sens de cette vitesse
pouvant varier.
d)
Le
mouvement du centre d’inertie d’une voiture se déplaçant sur une route
« en montagnes russes » peut-il être uniforme ? Justifier. 0,25
pt
Dans ce cas, le vecteur
vitesse n’est pas constant, mais la valeur de la vitesse peut l’être, en
s’aidant du moteur dans les montées, et du frein dans les descentes.
e)
Un
point matériel animé d’un mouvement uniforme peut-il avoir un vecteur
accélération ?
Justifier. 0,25
pt
Le vecteur accélération est
défini comme la variation du vecteur vitesse par unité de temps. Dans un
mouvement uniforme, v = cste, mais le vecteur vitesse peut varier ;
l’accélération est alors non nulle.
2) Étude du satellite « Télécom »
a)
Montrer
que le mouvement du satellite « Télécom », satellite géostationnaire
en orbite
circulaire, est uniforme. 0,75
pt
Le satellite doit suivre la
rotation d’un point à la surface de la Terre et doit donc avoir la même vitesse
angulaire (constante) que la Terre : w = cste (w en rad.s-1)
Si r = RT + h est
le rayon de la trajectoire circulaire du satellite : v / r = w = cste
Or la trajectoire est
circulaire => r = cste
=> v = cste (le mouvement du satellite est circulaire uniforme)
b)
La
valeur de la vitesse est donnée par l’expression 
où G est la constante
de gravitation universelle, MT est la masse de la Terre, RT
est le rayon de la Terre et h est l’altitude du satellite.
En appliquant la deuxième loi de Newton, établir cette expression ; en
déduire l’expression de la période de révolution du satellite. 1,25
pt
Le satellite est soumis à la seule force de
gravitation : 
Selon la deuxième loi de Newton, dans le référentiel géocentrique considéré
comme galiléen pour le mouvement du satellite, l’accélération produite par
cette force est telle que :
L’accélération est donc également orientée vers le centre de la Terre, et sa
valeur est :
Or, d’une façon générale, pour que le mouvement soit circulaire uniforme, il
faut que l’accélération soit centripète et ait la valeur :
=> 
=> 
(1)
On en déduit la période de révolution du satellite : 
(2)
c)
Parmi
les valeurs ci-dessous, quelle est l’ordre de grandeur de la vitesse du
satellite :
3.102 m.s-1 3.103
m.s-1 3.104
m.s-1 0,25
pt
d)
Quelle
est la relation entre la période de révolution du satellite et la période de
rotation de la Terre ? Cette relation est-elle suffisante pour affirmer
que le satellite est géostationnaire ? 0,50
pt
Si la vitesse de rotation du satellite doit être égale à
celle de la Terre, les durées pour faire un tour (période de révolution)
doivent être égales.
Cette condition n’est pas
suffisante : par exemple, la rotation d’un satellite dans les conditions
du schéma n’en fait un satellite géostationnaire :
e)
Dans
quel plan se trouve l’orbite d’un satellite géostationnaire. Pourquoi ? 0,25 pt
Il faut que le satellite soit vu constamment dans la même
position, à partir d’un point de la surface de la Terre. Il faut donc qu’il
tourne autour du même axe que la Terre, donc dans un plan perpendiculaire à cet
axe. Mais la force qui donne l’accélération centripète nécessaire à ce
mouvement est la force de gravitation, orientée vers le centre de la Terre. Le
seul plan de rotation qui satisfait ces deux conditions est le plan équatorial.
f)
Tous
les satellites géostationnaires doivent-ils avoir la même masse ?
Justifier la réponse. 0,25
pt
Non, puisque la période de
révolution ne dépend pas de la masse du satellite (relation (2)
g)
Tous
les satellites géostationnaires doivent-ils avoir la même vitesse ?
Justifier la réponse. 0,25
pt
Oui, puisqu’ils doivent avoir
la même vitesse de rotation (vitesse angulaire w), et donc graviter sur la
même orbite de rayon r tel que :
=> 
Et leur vitesse v = rw doit donc
être identique
3) Autre satellite
Les satellites de type « Spot » évoluent sur
des orbites circulaires d’altitude 830 km environ.
a)
Leur
vitesse est-elle plus grande, plus petite ou égale à celle de
« Télécom » ? Justifier. 0,25
pt
La relation (2) permet
d’évaluer l’altitude des satellites géostationnaires à 36 000 km environ
Selon la relation (1), lorsque
l’altitude décroît, la vitesse croît. L’altitude de Spot étant inférieure à
celle des géostationnaires, sa vitesse est supérieure.
b)
Leur
période est-elle plus grande, plus petite ou égale à celle de
« Télécom » ? Justifier. 0,25
pt
Selon la relation (2), lorsque
l’altitude décroît, la période décroît. La période de Spot est inférieure à
celle des géostationnaires.
c)
Ces
satellites sont-ils géostationnaires ? Justifier. 0,25 pt
Leur période de révolution
n’est pas égale à celle de la Terre. Ils ne sont pas géostationnaires.