Chute verticale d'un solide
1)
Champ de pesanteur
Soit un objet au bout d'un fil :
- à l'équilibre (
),
- en supposant galiléen le référentiel du laboratoire
- en négligeant l'action de l'air
(selon le principe
d'inertie)
=> La direction du fil donne :
- la direction du vecteur poids 
- la direction du vecteur champ de
pesanteur 
Le
poids est une manifestation de la gravitation universelle
=> en
supposant la masse de la Terre concentrée en son centre :
Localement
: 
=> Le vecteur champ de pesanteur est
localement uniforme
2) Forces sur un solide en chute verticale dans
un fluide
Un solide en mouvement dans un fluide est
soumis à :
- son poids
- la poussée
d'Archimède 
- des forces de
frottements 
qui s'opposent au
mouvement
v = 0 => 
v faible => 
(a > 0)
v grand => 
(b > 0)
3) Équation différentielle
Soit le repère (
) dans le référentiel terrestre
à
t = 0, un solide est lâché
- en O (z0 = 0)
- sans vitesse initiale (v0 =
0)
Forces
sur le solide : 
Par application de la 2ème loi de Newton dans
le référentiel terrestre supposé galiléen :
Par
projection de la relation sur les axes :
C'est
l'équation différentielle du mouvement du centre d'inertie du solide.
4)
Vitesse limite et temps caractéristique
A partir de
t = 0, v ä => f(v) ä => v ä vlim
Lorsque la vitesse limite est atteinte
:
=> 
L'allure de
v(t) est la suivante :
5)
Méthode d'Euler
Pour des solutions
approchées de l'équation différentielle
On connaît
v0 (=0) et 
On en
déduit v1 = v0 + a0(t1 - t0)
= a0(t1 - t0)
puis 
et v2 = v1 + a1(t2
- t1)
puis …
La
comparaison de la courbe v(t) obtenue et de l'enregistrement permet de vérifier
l'hypothèse faite sur f(v)
6) Chute
libre verticale d’un solide
Chute libre : mouvement sous la seule force de pesanteur
Equations
différentielles du mouvement :
Soit le solide dans le référentiel () :
à
t = 0, un solide est lancé :
- à l’altitude z = z0
- avec vitesse initiale 
Forces sur
le solide :
Par application de la 2ème loi de Newton dans
le référentiel terrestre supposé galiléen : 
Par
projection de la relation sur les axes :
Résolution
des équations différentielles :
Vitesse :
vx
= cste = 0
vy = cste = 0
vz
= - gt + cste = - gt + v0
=> Le mouvement se fait uniquement selon Oz
Position :
x = cste =
0
y = cste = 0
z = - ½ gt2 + v0t + cste = - ½ gt2
+ v0t + z0
C’est
l’équation horaire du mouvement
=> Représentation parabolique :
NB :
1)
Importance des conditions initiales (z0, v0)
2) Le
mouvement est rectiligne uniformément accéléré :
= > 
=> v = at + v0
x
= ½ at2 + v0t + x0