Mouvements de chute parabolique

Equations différentielles du mouvement

Un projectile est lancé avec une vitesse initiale quelconque
=> mouvement non vertical

Soit le repère () :

Conditions initiales :

A t = 0 : G est en G₀ (0, 0, 0) et (v_0x, 0, v_0z)

Avec : v_0x = v₀ cosa
v_0z = v₀ sina

Inventaire des forces extérieures :

Poids

Supposées négligeables

Poussée d’Archimède
Force de frottement

Application de la deuxième loi de Newton :

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen pour ce mouvement :

=> (si le champ de pesanteur est uniforme)

=> (0, 0, -g) (si Oz vertical ascendant)

=> équations différentielles :

Intégration des équations différentielles

=> v_x = cste = v_0x = v₀ cosa

=> v_y = cste = v_0y = 0

=> v_z = - gt + cste = - gt + v_0z = - gt + v₀ sina

Si v_0z > 0 (lancement vers le haut) :

v_z æ 0 æ valeurs négatives

Si v_0z < 0 (lancement vers le bas) :

v_z æ valeurs négatives

Equations horaires paramétriques

=> x = v_0xt + cste = v_0xt + x₀ = v_0xt

=> y = cste = y₀ = 0

=> z = - ½ gt² + v_0zt + z₀ = - ½ gt² + v_0zt

x, y, z sont : - les coordonnées du centre d’inertie G
- les composantes du vecteur position

x(t), y(t), z(t) sont les équations horaires paramétriques du mouvement

Trajectoire du centre d’inertie

y(t) = 0
=> le mouvement est contenu dans le plan de lancement xOz

L’élimination du paramètre (t) entre x(t) et z(t) donne :

=> la trajectoire est une
portion de parabole

La mécanique de Newton

Chutes verticales

Planètes et satellites

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